Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 4), B(2; 1), C(–1; –2). Cho M(x; y) trên đoạn thẳng BC sao cho S_ABC = 4S_ABM. Khi đó x² – y² bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Kẻ AH ⊥ BC tại H.

Ta có:

⦁ \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 3} \right)\). Suy ra \(\frac{1}{4}\overrightarrow {BC} = \left( {\frac{1}{4}.\left( { - 3} \right);\frac{1}{4}.\left( { - 3} \right)} \right) = \left( {\frac{{ - 3}}{4};\frac{{ - 3}}{4}} \right)\);

⦁ \(\overrightarrow {BM} = \left( {x - 2;y - 1} \right)\).

Ta có S_ABC = 4S_ABM

Suy ra \(\frac{1}{2}AH.BC = 4.\frac{1}{2}AH.BM\)

Do đó BC = 4BM

Vì vậy \(BM = \frac{1}{4}BC\)

Suy ra \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - \frac{3}{4}\\y - 1 = - \frac{3}{4}\end{array} \right.\)

Vì vậy \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{4}\\y = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Suy ra \({x^2} - {y^2} = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{{13}}{8}\).

Vậy ta chọn phương án A.