Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 3) và hai đường trung tuyến BM: x – 2y + 1 = 0 và CN: y – 1 = 0. Phương trình đường thẳng AB là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3-t\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3+t\end{array}\right.$;

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là giao điểm của BM và CN nên là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x-2y+1=0\\ y-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right..$ Do đó G (1; 1).

Gọi B(x_B; y_B). Vì điểm B thuộc đường trung tuyến BM: x – 2y + 1 = 0 nên ta có:

x_B – 2y_B + 1 = 0, suy ra x_B = 2y_B – 1. Khi đó B(2y_B – 1; y_B).

Gọi C(x_C; y_C). Vì điểm C thuộc đường trung tuyến CN: y – 1 = 0 nên ta có:

y_C – 1 = 0, suy ra y_C = 1. Khi đó C(x_C; 1).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}1=\frac{1+2y_B-1+x_C}{3}\\ 1=\frac{3+y_B+1}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2y_B+x_C=3\\ y_B+4=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=5\\ y_B=-1\end{array}\right.$.

Từ đó ta có tọa độ hai điểm B và C là: B(–3; –1) và C(5; 1).

Với A(1; 3) và B(–3; –1), ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-4;-4\right)$

Phương trình đường thẳng AB đi qua A(1; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;1\right)$ là:

$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3+t\end{array}\right.$.