Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y + 3 = 0. Tiếp tuyến của đường tròn (C) song song với đường thẳng Δ: 3x + 4y + 1 = 0 có phương trình là

A. $3x+4y+5\sqrt{2}-11=0$ và $3x+4y-5\sqrt{2}+11=0$;

B. $3x+4y+5\sqrt{2}-11=0$ và $3x+4y-5\sqrt{2}-11=0$;

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y + 3 = 0 có tâm I(1; 2) và bán kính $R=\sqrt{2}$.

Do d song song với đường thẳng Δ nên d có phương trình là 3x + 4y + k = 0 (k ≠ 1).

Để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) thì d(I, d) = R

$\iff \frac{\left|3\cdot 1+4\cdot 2+k\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\sqrt{2}\iff \left|11+k\right|=5\sqrt{2}\iff \left[\begin{array}{l}11+k=5\sqrt{2}\\ 11+k=-5\sqrt{2}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}k=5\sqrt{2}-11\\ k=-5\sqrt{2}-11\end{array}\right.$

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là $3x+4y+5\sqrt{2}-11=0$ và $3x+4y-5\sqrt{2}-11=0$.