Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A (1; 0), B (0; 5) và C (–3; –5). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oy sao cho \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất?

A. M(0; 5)

B. M(0; 6)

C. M(0; –6)

D. M(0; –5).

Đáp án đúng là C

Gọi I(a; b) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

Ta có:

\(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} - 2\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AI} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AI} + 4\overrightarrow {AC} - 4\overrightarrow {AI} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 5\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {AB} - 4\overrightarrow {AC} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{\rm{a}} = - 9\\5b = - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 9}}{5}\\b = - 6\end{array} \right.\\\end{array}\)

Suy ra \(I\left( {\frac{{ - 9}}{5}; - 6} \right)\)

Khi đó \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {MI} - 2\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {MI} + 4\overrightarrow {IC} } \right|\)

\( = \left| {5\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {5\overrightarrow {MI} + \overrightarrow 0 } \right| = 5MI\)

Do đó \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất

Suy ra M là hình chiếu của I trên Oy

Mà \(I\left( {\frac{{ - 9}}{5}; - 6} \right)\)

Do đó M(0; –6)

Vậy ta chọn đáp án C.