Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại C, góc ABC = 60 độ , AB = 3 căn bậc hai 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại C,$\widehat{ABC}=60°,AB=3\sqrt{2},$đường thẳng AB có phương trình $\frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+8}{-4},$ đường thẳng AC nằm trên mặt phẳng $\left(\alpha \right):x+z-1=0.$ Biết B là điểm có hoành độ dương. Gọi $(a;b;c)$ là tọa độ điểm C, giá trị của  a+ b+c bằng

Trả lời

Ta có A là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng $\left(\alpha \right).$ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+8}{-4}\\ x+z-1=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=0\end{array}\right.\right..$ 

Vậy điểm A(1; 2; 0).

Điểm B nằm trên đường thẳng AB nên điểm B có tọa độ $B(3+t;4+t;-8-4t)$ 

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(t+2;t+2;-8-4t)$

Theo giả thiết thì $t+3>0\iff t>-3$

Do $AB=3\sqrt{2}$, ta có ${(t+2)}^2+{(t+2)}^2+16{(t+2)}^2=18\Rightarrow t=-1$ nên $B(2;3;-4)$

Theo giã thiết thì $AC=AB\sin 60°=\frac{3\sqrt{6}}{2};BC=AB.\cos 60°=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}C\in \left(\alpha \right)\\ AC=\frac{3\sqrt{6}}{2}\\ BC=\frac{3\sqrt{2}}{2}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}a+c=1\\ {(a-1)}^2+{(b-2)}^2+c^2=\frac{27}{2}\\ {(a-2)}^2+{(b-3)}^2+{(c+4)}^2=\frac{9}{2}\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a+c=1\\ 2a+2b-8c=9\\ {(a-1)}^2+{(b-2)}^2+c^2=\frac{27}{2}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{2}\\ b=3\\ c=-\frac{5}{2}\end{array}\text{.}\right.\right.$

Vậy $C\left(\frac{7}{2};3;-\frac{5}{2}\right)$nên $a+b+c=4.$

Chọn C