Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2x + ( 1-2m ) cos x - m + 1=0 có nghiệm

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $\cos 2x+(1-2m)\cos x-m+1=0$ có nghiệm trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right).$

A. $-1\le m\le 2.$         

Trả lời

Ta có:

$\cos 2x+(1-2m)\cos x-m+1=0\iff 2{\cos }^{2}x-1+(1-2m)\cos x-m+1=0$

$\iff 2{\cos }^{2}x+(1-2m)\cos x-m=0\iff \cos x(2\cos x+1)-m(2\cos x+1)=0$

$\iff (2\cos x+1)(\cos x-m)=0\iff \left[\begin{array}{l}\cos x=-\frac{1}{2}\\ \cos x=m\end{array}\right.$

Nhận thấy phương trình $\cos x=-\frac{1}{2}$ không có nghiệm trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right).$

Do đó yêu cầu bài toán $\iff \cos x=m$ có nghiệm thuộc khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)\iff 0<m\le 1.$

Vậy giá trị cần tìm là: $0<m\le 1.$

Chọn C