Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(–1; –2; 0), B(0; –4; 0), C(0; 0; –3). Phương trình mặt phẳng (P) nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?

A. (P): 6x – 3y + 5z = 0

B. (P): –6x + 3y + 4z = 0

C. (P): 2x – y – 3z = 0

D. (P): 2x – y + 3z = 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có : \(\overrightarrow {OA} = ( - 1; - 2;0)\)

Vì (P) cách đều B, C nên \(d(B;(P)) = d(C;(P))\)

TH1: BC // (P)

\(\overrightarrow {BC} = (0;4; - 3) \Rightarrow [\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {BC} ] = (6; - 3; - 4){\rm{ }}\)

Suy ra (P) đi qua O và nhận \(\vec b = (6; - 3; - 4)\) là 1 VTPT

Do đó \((P):6x - 3y - 4z = 0 \Leftrightarrow (P): - 6x + 3y + 4z = 0\)

TH2: I ∈ (P), với I là trung điểm của BC

\(I\left( {0; - 2; - \frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OI} = \left( {0; - 2; - \frac{3}{2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow [\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OI} ] = \frac{1}{2}(6; - 3;4)\\ \Rightarrow (P):6x - 3y + 4z = 0\end{array}\)

Do đó có hai mặt phẳng thỏa mãn là: \( - 6x + 3y + 4z = 0\) và \(6x - 3y + 4z = 0\)

Vậy đáp án cần chọn là B.