Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng:

\({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 4 - t}\\{z = - 1 + 2t}\end{array}} \right.;\,\,{d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{z}{{ - 3}};\,\,{d_3}:\frac{{x + 1}}{5} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.\)

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \), biết \(\Delta \) cắt ba đường thẳng d₁, d₂, d₃ lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC.

Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d₁, d₂, d₃.

Ta có: A(t, 4 – t, -1 + 2t); B(u, 2 – 3u, -3u); C(-1 + 5v, 1 + 2v, – 1 + v).

A, B, C thẳng hàng và AB = BC ⇔ B là trung điểm của AC

⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + \left( { - 1 + 5v} \right) = 2u}\\{4 - t + \left( {1 + 2v} \right) = 2.\left( {2 - 3u} \right)}\\{ - 1 + 2t + \left( { - 1 + v} \right) = 2.\left( { - 3u} \right)}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình trên ta được: t = 1, u = 0, v = 0.

Suy ra A(1; 3; 1); B(0; 2; 0); C(-1; 1; -1).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua A, B, C có phương trình là: \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{1}.\)