Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 4 = 0 và mặt cầu (S): x² + y² + z² − 2x − 2y − 2z – 1 = 0. Tìm tọa độ của điểm M trên (S) sao cho d(M, (P)) đạt GTNN.

Ta có: d(M, (P)) = 3 > R = 2 ⇒ (P) ∩ (S) = ∅.

Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\) (t ∈ ℝ)

Tọa độ giao điểm của d và (S) là \(A\left( {\frac{5}{3};\frac{7}{3};\frac{7}{3}} \right),\,\,B\left( {\frac{1}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}} \right).\)

Ta có: d(A, (P)) = 5 ≥ d(B, (P)) = 1.

⇒ d(A, (P)) ≥ d(M, (P)) ≥ d(B, (P)).