Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. ∀ n ∈ ℕ, n² + 1 không chia hết cho 3

B. ∀ n ∈ ℝ, |x| < 3 ⇔ x < 3

C. ∀ n ∈ ℝ, (x – 1)² ≠ x – 1

D. ∃ n ∈ ℕ, n² + 1 chia hết cho 4.

Đáp án đúng là: A

+) Với mọi số tự nhiên thì có các trường hợp sau:

n = 3k ⇒ n² + 1 = (3k)² + 1 chia 3 dư 1

n = 3k + 1 ⇒ n² + 1 = (3k + 1)² + 1 = 9k² + 6k + 2 chia 3 dư 2

n = 3k + 2 ⇒ n² + 1 = (3k + 2)² + 1 = 9k² + 12k + 5 chia 3 dư 2

Suy ra ∀ n ∈ ℕ, n² + 1 không chia hết cho 3, mệnh đề A đúng

+) Với mọi số tự nhiên thì có các trường hợp sau:

n = 4k ⇒ n² + 1 = (4k)² + 1 chia 4 dư 1

n = 4k + 1 ⇒ n² + 1 = (4k + 1)² + 1 = 16k² + 8k + 2 chia 4 dư 2

n = 4k + 2 ⇒ n² + 1 = (4k + 2)² + 1 = 16k² + 16k + 5 chia 4 dư 1

n = 4k + 3 ⇒ n² + 1 = (4k + 3)² + 1 = 16k² + 24k + 10 chia 4 dư 2

Suy ra  ∀ n ∈ ℕ, n2 + 1 không chia hết cho 4, do đó mệnh đề D sai.

+) Ta có: x = – 4 < 3, nhưng |x| = | – 4| = 4 > 3, suy ra mệnh đề B sai

+) Với x = 1, ta có (x – 1)² = (1 – 1)² = 0 và x – 1 = 1 – 1 = 0, do đó mệnh đề C sai

Vậy ta chọn đáp án A.