Cho mệnh đề chứa biến P(x) = {x ∈ ℤ : |x² – 2x – 3| = x² + |2x + 3|}. Trong đoạn [-2020; 2021] có bao nhiêu giá trị của x để mệnh đề chứa biến P(x) là mệnh đề đúng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số giá trị nguyên để mệnh đề P(x) là mệnh đề đúng chính là số nghiệm nguyên của phương trình |x² – 2x – 3| = x² + |2x + 3| (1).

+ Nếu x ≥ $-\frac{3}{2}$  thì ta có:

(1) ⟺ |x² – 2x – 3| = x² + |2x + 3| ⇔ $\left[\begin{array}{c}{x}^2–2x–3=x^2+2x+3\\ -x^2\text{+ }2x\text{ + }3=x^2+2x+3\end{array}\right.$  ⇔ $\left[\begin{array}{c}x=-\frac{3}{2}\\ x=0\end{array}\right.$ .Mà x ∈ ℤ và x ∈ [-2020; 2021] nên x = 0 thỏa mãn.

+ Nếu x < $-\frac{3}{2}$  thì ta có (1) ⟺ |x² – 2x – 3| = x² – 2x – 3. Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối, kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của (1) trong trường hợp này:

(1)$\iff \left\{\begin{array}{c}{x}^2–2x–3\ge 0\\ x<-\frac{3}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}x\le -1\\ x\ge 3\end{array}\right.\\ x<-\frac{3}{2}\end{array}\right.\iff x<-\frac{3}{2}$

Mà x ∈ [-2020;2021] nên  x ∈ {-2; -3; …; -2020}.

Do đó tập nghiệm của phương trình là S = {0; -2; -3; …; -2020}.

Vậy có 2020 số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.