Tính S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4(2^2x + 2^−2x) − 4(2^x + 2^−x) − 7 = 0.

Trả lời

Lời giải

Đặt t = 2^x + 2^−x, suy ra t² = 2^2x + 2^−2x + 2.

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(t = {2^x} + {2^{ - x}} \ge 2\sqrt {{2^x}\,.\,{2^{ - x}}} = 2\)

Phương trình trở thành

4(t² − 2) − 4t − 7 = 0

Û 4t² − 4t − 15 = 0

\( \Rightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = \frac{5}{2}\)

\( \Leftrightarrow {2^x} + \frac{1}{{{2^x}}} = \frac{5}{2}\)

Û 2 . 2^2x – 5 . 2^x + 2 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 2\\{2^x} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là: S = 1 + (−1) = 0.