Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}\)trên khoảng (0; +∞).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

\(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{{3x}}{2} + \frac{{3x}}{2} + \frac{4}{{{x^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{3x}}{2}.\frac{{3x}}{2}.\frac{4}{{{x^2}}}}} = 3\sqrt[3]{9}\)(do x > 0)

Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{{3x}}{2} = \frac{4}{{{x^2}}} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}\)

Vậy \[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} = 3\sqrt[3]{9}\] khi \(x = \sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}\).