Điều kiện xác định: $x>0;x\ne 9$

$$\begin{gathered} P=A.B=\frac{x+7}{3\sqrt{x}}.\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\frac{x+7}{\sqrt{x}+3} \\ =\frac{x-9+16}{\sqrt{x}+3}=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}+3}+\frac{16}{\sqrt{x}+3} \\ =\sqrt{x}-3+\frac{16}{\sqrt{x}+3}=\left(\sqrt{x}+3\right)+\frac{16}{\sqrt{x}+3}-6 \end{gathered}$$

Với mọi $x>0,x\ne 9$  ta có:$\sqrt{x}+3>0;\frac{16}{\sqrt{x}+3}>0.$

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương $\left(\sqrt{x}+3\right)$  và $\frac{16}{\sqrt{x}+3}$  ta có:

$$\begin{gathered} \left(\sqrt{x}+3\right)+\frac{16}{\sqrt{x}+3}\ge 2\sqrt{\left(\sqrt{x}+3\right).\frac{16}{\sqrt{x}+3}} \\ \iff \left(\sqrt{x}+3\right)+\frac{16}{\sqrt{x}+3}\ge 8 \\ \iff \left(\sqrt{x}+3\right)+\frac{16}{\sqrt{x}+3}-6\ge 2 \end{gathered}$$

Hay $P\ge 2.$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}+3=\frac{16}{\sqrt{x}+3}\Rightarrow {\left(\sqrt{x}+3\right)}^2=16$

$\iff \left[\begin{array}{l}\sqrt{x}+3=4\\ \sqrt{x}+3=-4\left(ktm\right)\end{array}\right.\Rightarrow \sqrt{x}=1\iff x=1\left(tm\right)$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $2\iff x=1.$