Ta có: AC, BD là tiếp tuyến của  $\left(O\right)\Rightarrow AC\perp AB;BD\perp AB\Rightarrow AC\parallel BD$

Do đó: ABCD là hình thang vuông có AB là đường cao.

Khi đó ta có:  $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB\left(AC+BD\right)=\frac{1}{2}AB.CD=\frac{1}{2}AB\left(AC+BD\right)\stackrel{Co-si}{\ge }\frac{1}{2}AB\mathrm{.2.}\sqrt{AC.BD}=2R^2$

(do theo câu b) ta có $CD=AC+BD$  và theo câu c) ta có $AC.BD=R^2$ )

Nên $\min S_{ABCD}=2R^2\iff CD=AB\iff CD\parallel AB\iff MO\perp AB$  (do $MO\perp CD$ )

$\iff M$ là điểm chính giữa của cung AB.