Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=x^3-(m+1)x^2+(m^2+3)x-1 đạt cực trị tại x = −1.

Trả lời

Tập xác định: D = ℝ

Xét hàm số  $y=\frac{x^3}{3}-\left(m+1\right)x^2+\left(m^2-3\right)x-1$ có:

y¢ = x² − 2(m + 1)x + m² − 3

y¢¢ = 2x − 2(m + 1).

Hàm số đạt cực trị tại x = −1 khi:

$\left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}\left(-1\right)=0\\ {y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(-1\right)\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}1+2\left(m+1\right)+m^2-3=0\\ -2-2\left(m+1\right)\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+2m=0\\ -2m-4\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=-2\\ m=0\end{array}\right.\\ m\ne -2\end{array}\right.\iff m=0$

Vậy m = 0 thì hàm số đạt cực trị tại x = −1.