Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \[{4^{x\, + \,1}} - {2^{x\, + \,2}} + m = 0\] có nghiệm.

Ta có \({4^{x + 1}} - {2^{x + 2}} + m = 0\) ⇔ \({\left( {{2^{x + 1}}} \right)^2} - {2.2^{x + 1}} + m = 0.\) (1)

Đặt 2^{x + 1} = t > 0.

Phương trình (1) trở thành: t² – 2t + m = 0 (2)

Để phương trình (1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm t > 0.

Phương trình (2) có hai nghiệm t₁, t₂ thỏa mãn \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < {t_1} \le {t_2}}\\{{t_1} \le 0 < {t_2}}\end{array}} \right.\)

· Xét trường hợp phương trình (2) có hai nghiệm 0 < t₁ ≤ t₂:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta ' = 1 - m \ge 0}\\{P = m > 0}\\{S = 2 > 0}\end{array}} \right.\) ⇔ 0 < m ≤ 1

· Xét trường hợp phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

P = m < 0.

Kết hợp cả 2 trường hợp, để phương trình (1) có nghiệm thì m ≤ 1.