Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = −x³ + 3x² + mx + 1 nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

Ta có: y = −x³ + 3x² + mx + 1

Þ y¢ = −3x² + 6x + m

Hàm số f (x) nghịch biến trên (0; +∞)

Û f ¢(x) ≤ 0, "x Î (0; +∞)

Û −3x² + 6x + m ≤ 0, "x Î (0; +∞)

Û m ≤ 3x² − 6x, "x Î (0; +∞) (*)

Xét hàm số y = g (x) = 3x² − 6x trên (0; +∞).

g¢ (x) = 6x − 6 = 0 Û x = 1

Xét bảng biến thiên:

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{x \in \left( {0;\; + \infty } \right)} g\left( x \right) \Leftrightarrow m \le - 3\)

Vậy m ≤ −3 là giá trị của tham số m cần tìm.