Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) $y = 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1$;

b) y = sin x + cos x.

Lời giải:

a) Ta có: $- 1 \le \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 1$ với mọi x ∈ ℝ

$\Leftrightarrow - 2 \le 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 2$ với mọi x ∈ ℝ

$\Leftrightarrow - 2 - 1 \le 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1 \le 2 - 1$ với mọi x ∈ ℝ

$\Leftrightarrow - 3 \le 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1 \le 1$ với mọi x ∈ ℝ

⇔ – 3 ≤ y ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ

Vậy tập giá trị của hàm số $y = 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1$ là [– 3; 1].

b) Ta có: sin x + cos x = $\sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x} \right)$

$= \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4}\sin x + \sin \frac{\pi }{4}\cos x} \right)$

$= \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right)$

$= \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$

Khi đó ta có hàm số y $= \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$.

Lại có: $- 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1$ với mọi x ∈ ℝ

$\Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2$ với mọi x ∈ ℝ

$\Leftrightarrow - \sqrt 2 \le y \le \sqrt 2$ với mọi x ∈ ℝ

Vậy tập giá trị của hàm số y = sin x + cos x là $\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$.