Cho góc α thỏa mãn pi /2 < alpha < pi ,cos alpha = - 1/ căn bậc hai của 3. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) sin ( alpha + pi /6); b) cos( alpha + pi /6); c) sin ( alpha - pi /
32
24/07/2024
Cho góc α thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi ,\cos \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right)\);
b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right)\);
c) \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right)\);
d) \(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right)\).
Trả lời
Lời giải:
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên sin α > 0. Mặt khác từ sin2 α + cos2 α = 1 suy ra
\(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
a) \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right)\)\( = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{6}\)
\( = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{1}{2} = \frac{{3\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{6}\).
b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right)\)\( = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{6} - \sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}\)
\( = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{ - 3 - \sqrt 6 }}{6}\).
c) \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right)\)\( = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{3}\)
\( = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} - \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 + 3}}{6}\).
d) \(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right)\)\( = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}\)
\( = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{6}\).
