Giải các phương trình sau:

a) \(\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

b) 2sin² x – 1 + cos 3x = 0;

c) \(\tan \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = \tan \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\).

Lời giải:

a) \(\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\3x - \frac{\pi }{4} = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \pi + k2\pi \\3x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\,\] và \[x = - \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\].

b) 2sin² x – 1 + cos 3x = 0

⇔ – (1 – 2sin² x) + cos 3x = 0

⇔ – cos 2x + cos 3x = 0

⇔ cos 3x = cos 2x

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 2x + k2\pi \\3x = - 2x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\5x = k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\,\] và \[x = k\frac{{2\pi }}{5},k \in \mathbb{Z}\].

c) \(\tan \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = \tan \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{5} = x - \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{{11\pi }}{{30}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = - \frac{{11\pi }}{{30}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).