Tìm số hạng chứa x³ trong khai triển \({\left( {x - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}\) biết n là một số tự nhiên thỏa mãn \(\frac{1}{{A_2^2}} + \frac{1}{{A_2^2}} + ... + \frac{1}{{A_n^2}} = \frac{8}{9}\).

Ta có: \(\frac{1}{{A_n^2}} = \frac{1}{{n\left( {n - 1} \right)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n - 1}}\)

Suy ra: \(\frac{1}{{A_2^2}} + \frac{1}{{A_2^2}} + ... + \frac{1}{{A_n^2}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n} = \frac{8}{9}\)

⇒ \(1 - \frac{1}{n} = \frac{8}{9}\)

⇒ n = 9.

Lại có: \({\left( {x - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{x^k}.{{\left( {\frac{{ - 2}}{{{x^2}}}} \right)}^{n - k}} = } \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{x^{3k - 2n}}.{{\left( { - 2} \right)}^{n - k}}} \)

Để có số hạng x³ thì 3k – 2n = 3

Suy ra: 3k – 2.9 = 3

Hay k = 7

Vậy số hạng chứa x³ là: \(C_9^7.{\left( { - 2} \right)^2}.{x^3} = 144{x^3}\).