Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = (1 + sinx)^2 biết F(pi/2) = 3pi/4
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = (1 + sinx)2 biết \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{3\pi }}{4}\).
\[\int {{{\left( {1 + \sin x} \right)}^2}dx = \int {\left( {1 + 2\sin x + {{\sin }^2}x} \right)dx = \int {\left( {1 + 2\sin x + \frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)dx} } } \]
\[ = \frac{3}{2}x - 2\cos x - \frac{1}{4}\sin 2x + C\]
Lại có: \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \frac{3}{2}.\frac{\pi }{2} - 2\cos \frac{\pi }{2} + \frac{1}{4}\sin \pi + C = \frac{{3\pi }}{4}\)
⇔ C = 0
Vậy F(x) = \[ = \frac{3}{2}x - 2\cos x - \frac{1}{4}\sin 2x\].