+) TH1:  $\left\{\begin{array}{l}{5}^n⋮63\\ 2^n⋮63\end{array}\right.$

Để 5ⁿ ⁝ 63 thì 5ⁿ = 63.k mà 5ⁿ ⁝ 5 tuy vậy  $63.k\cancel{⋮}5$ nên 5ⁿ không thể chia hết cho 63.

Vậy TH1 không thể xảy ra.

+) TH2: 5ⁿ chia cho 63 dư 1, 2ⁿ chia cho 63 dư 1.

- Xét n = 0 thì 5ⁿ = 1 và 2ⁿ = 1

Suy ra 5ⁿ − 2ⁿ = 1 − 1 = 0 ⁝ 63

- Xét n > 0 ta có:

Ta thử được 5⁶ = 15625 chia cho 63 dư 1

2⁶ = 64 chia cho 63 dư 1

Nên đặt n = 6k (k Î ℕ*) thì:

5^6k − 2^6k = (5⁶)^k − (2⁶)^k = (15625)^k − (64)^k

≡ 1^k − 1^k ≡ 0 (mod 63)

Vậy với n = 6k (k Î ℕ) thì: 5ⁿ − 2ⁿ chia hết cho 63.