Tìm m để phương trình x³ – 2x² + (1 – m)x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt x₁, x₂, x₃ thỏa mãn x₁² + x₂² + x₃² = 4.

x³ – 2x² + (1 – m)x + m = 0 (*)

⇔ (x³ – 2x² + x) – mx + m = 0

⇔ x(x² – 2x + 1) – m(x – 1) = 0

⇔ x(x – 1)² – m(x – 1) = 0

⇔ (x – 1)[(x(x – 1) – m] = 0

⇔ (x – 1)(x² – x – m) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=1\\ x^2-x-m=0\left(1\right)\end{array}\right.$

Để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Tức là:

 $\left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ 1^2-1-m\ne 0\end{array}\right.$⇔  $\left\{\begin{array}{l}1+4m>0\\ m\ne 0\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}m>-\frac{1}{4}\\ m\ne 0\end{array}\right.$

Ta có nghiệm của phương trình (1) là:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{1+\sqrt{1+4m}}{2}\\ x_2=\frac{1-\sqrt{1+4m}}{2}\end{array}\right.$

Suy ra:  x₁² + x₂² = ${\left(\frac{1+\sqrt{1+4m}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1-\sqrt{1+4m}}{2}\right)}^2$

$=\frac{1+2\sqrt{1+4m}+1+4m+1-2\sqrt{1+4m}+1+4m}{4}=1+2m$

Có x₁² + x₂² + x₃² = 4

⇔ 1 + 2m + 1 = 4

⇔ m = 1 (thỏa mãn)

Vậy m = 1.