Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d: y = (1 – 3m)x + m lớn nhất.

TH1: 1 – 3m = 0 ⇔ m = \(\frac{1}{3}\)

d: y = \(\frac{1}{3}\) ⇒ d(O, d) = \(\frac{1}{3}\)

TH2: 1 – 3m ≠ 0 ⇔ m ≠ \(\frac{1}{3}\)

d cắt Ox tại \(A\left( {\frac{m}{{3m - 1}};0} \right)\) ⇒ \(\left| {OA} \right| = \frac{m}{{3m - 1}}\)

d cắt Oy tại B(0;m) ⇒ \(\left| {OB} \right| = m\)

Xét tam giác ABO vuông tại O, OH là đường cao hạ từ O đến AB:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{m}{{3m - 1}}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{m^2}}} = \frac{{{{\left( {3m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{m^2}}}\)

\[\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{{9{m^2} - 6m + 2}}{{{m^2}}} = 9 - \frac{6}{m} + \frac{2}{{{m^2}}} = - 2{\left( {\frac{1}{m} - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{9}{2} - \frac{9}{4} = - 2{\left( {\frac{1}{m} - \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{9}{2} - \le - \frac{9}{2}\]

Suy ra: \(\frac{1}{{O{H^2}}}\) max = \(\frac{9}{2}\)⇒ OH_max = \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{9}{2} = \frac{{9{m^2} - 6m + 2}}{{{m^2}}}\)⇒ m = \(\frac{2}{3}\)

Qua 2 trường hợp suy ra: với m = \(\frac{2}{3}\)thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến d là lớn nhất.