Tìm m để đường thẳng y = x + m (d) cắt đồ thị hàm số y = (2x + 1) / (x - 2) (C) tại hai điểm
11
02/09/2024
Tìm m để đường thẳng y = x + m (d) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}(C)\) tại hai điểm phân biệt thuôc hai nhánh của đồ thị (C).
B. \(m \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\);
C. \(m > - \frac{1}{2}\);
D. \(m < - \frac{1}{2}\).
Trả lời
Đáp án đúng là: A
Tập xác định x ≠ 2
Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(\frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = x + m\) có hai nghiệm phân biệt. Khi đó ta cần
2x + 1 = (x – 2)(x + m)
⇔ 2x + 1 = x2 + mx – 2x – 2m
⇔ x2 + (m – 4)x – (2m + 1) = 0 (1)
Có hai nghiệm phân biệt khác 2.
Do 22 + (m – 4).2 – (2m + 1) = −5 ≠ 0 nên phương trình (1) nếu có nghiệm thì các nghiệm này sẽ khác 2.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
∆ = (m – 4)2 + 4.(2m + 1) = m2 + 20 > 0
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Hơn nữa ta tìm được hai nghiệm này là:
\({x_1} = \frac{{4 - m - \sqrt {{m^2} + 20} }}{2}\); \({x_2} = \frac{{4 - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2}\)
Ta lại có:
\(\left\{ \begin{array}{l}2 - {x_1} = 2 - \frac{{4 - m - \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} = \frac{{m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} > 0\\{x_2} - 2 = \frac{{4 - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} - 2 = \frac{{ - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} > 0\end{array} \right.\)
⇒ x1 < 2 < x2
Do đó x1; x2 nằm về hai nhánh của đồ thị (C) với mọi m ∈ ℝ.