Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 nên $k-2\ne 0\iff k\ne 2$  và tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là $\left(2;0\right)$ .

Thay $x=2;y=0$  vào hàm số đã cho ta được:

$$\begin{gathered} 0=\left(k-2\right).2+k^2-2k\iff k^2-4=0 \\ \iff k^2=4\iff \left[\begin{array}{l}k=2\left(ktm\right)\\ k=-2\left(tm\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $k=-2$ .