Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = sin²x + 2sinx.cosx − cos²x + 5.

Ta có: y = sin²x + 2sinx.cosx − cos²x + 5

= (sin²x − cos²x) + 2sinx.cosx + 5

= −cos 2x + sin 2x + 5

= sin 2x − cos 2x + 5

\( = \sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + 4\)

Do \( - 1 \le \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\)

\( \Rightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow 5 - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + 5 \le 5 + \sqrt 2 \)

+) \(\min y = 5 - \sqrt 2 \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{8} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

+) \(\max y = 5 + \sqrt 2 \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy GTNN của hàm số là \(5 - \sqrt 2 \) khi \(x = - \frac{\pi }{8} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) và GTLN của hàm số là \(5 + \sqrt 2 \) khi \(x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).