Tìm GTLN của S = \(\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)(a, b, c là 3 cạnh trong 1 tam giác và p là nửa chu vi).

S = \(\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

\( = \frac{1}{4}\sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)} \)

\[ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\sqrt {\frac{{a + b + c}}{3}\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {a + b - c} \right)} \]

\[ \le \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {\frac{{\frac{{a + b + c}}{3} + b + c - a + c + a - b + a + b - c}}{4}} \right)^2}\]

\[ \le \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^2} = \frac{{{p^2}}}{{3\sqrt 3 }}\]

Vậy GTLN của S = \[\frac{{{p^2}}}{{3\sqrt 3 }}\] khi \(\frac{{a + b + c}}{3} = a + b - c = b + c - a = c + a - b\)

Hay a = b = c, tức tam giác đó là tam giác đều.