Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y = (2m − 1)x + 3 + m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x³ − 3x² + 1.

Tập xác định: D = R

Ta có: y′ = 3x2 − 6x = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\Rightarrow y=-3\\ x=0\Rightarrow y=1\end{array}\right.$

Do đó A(0;1) và B(2; −3) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

$\frac{x-0}{2-0}=\frac{y-1}{-3-1}$
⇔ −2x = y – 1 ⇔ y = −2x + 1 (d′)

Vì d ⊥ d′ ⇒ (2m − 1).(−2) = −1

$\iff 2m-1=\frac{1}{2}\iff m=\frac{3}{4}$

Vậy $m=\frac{3}{4}$.