Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y = (2m – 1)x + 3 + m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 1.

TXD: D = ℝ

Ta có: y’ = 3x² – 6x = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow = 1\\x = 2 \Rightarrow y = - 3\end{array} \right.\)

⇒ A(0; 1) và B(2; −3) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: \(\frac{{x - 0}}{{2 - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 3 - 1}}\)

⇔ −2x = y – 1 ⇔ y = −2x + 1 (d’)

Vì d⊥d’ ⇒ (2m – 1)(−2) = −1 \( \Leftrightarrow 2m - 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{3}{4}\).

Vậy với \(m = \frac{3}{4}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.