Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x⁴ − 4x³ − x² + 10x – 3 trên đoạn [−1; 4].

Ta có: y = x⁴ − 4x³ − x² + 10x − 3

= x⁴ − 4x³ − x² + 10x – 5 + 2

= [(x − 1)²  − 1]² − 5(x − 1)² + 2

Đặt t = (x − 1)², x ∈ [−1;4] ⇒ t ∈ [0;9]

y = (t − 1)² − 5t + 2 = t² − 7t + 3

 $y={\left(t-\frac{7}{2}\right)}^2-\frac{37}{4}\ge -\frac{37}{4}$

Vì  ${\left(t-\frac{7}{2}\right)}^2\ge 0$nên  ${\left(t-\frac{7}{2}\right)}^2-\frac{37}{4}\ge -\frac{37}{4}$

  $\min y=-\frac{37}{4}\iff t=\frac{7}{2}\iff x=\pm \sqrt{\frac{7}{2}}+1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là  $-\frac{37}{4}$tại  $x=\pm \sqrt{\frac{7}{2}}+1$.