Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = x⁴ − 2mx² + 2m + m⁴ có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều.

Ta có: y′ = 4x³ − 4mx = 0 Û 4x(x² − m) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\)

Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt Û m > 0.

Khi đó đồ thị hàm số có các điểm cực trị là:

\(A\left( {0;\;2m + {m^4}} \right),\;B\left( {\sqrt m ;\;{m^4} - {m^2} + 2m} \right),\;C\left( { - \sqrt m ;\;{m^4} - {m^2} + 2m} \right)\)

Để tam giác ABC đều suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC\\AB = BC\end{array} \right.\).

Mà AB = AC (luôn đúng) nên suy ra AB = BC

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt m ;\; - {m^2}} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {m + {m^4}} \\\overrightarrow {BC} = \left( { - 2\sqrt m ;\;0} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {4m} \end{array} \right.\)

AB = BC

\( \Leftrightarrow \sqrt {m + {m^4}} = \sqrt {4m} \)

Û m + m⁴ = 4m

Û m⁴ = 3m

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\;\;\;\;\left( {KTM} \right)\\m = \sqrt[3]{3}\;\;\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(m = \sqrt[3]{3}\) là giá trị cần tìm.