Tập nghiệm của phương trình \({5^x}{.8^{\frac{{x - 1}}{x}}} = 500\) là

A. \(\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - {\log _5}2\end{array} \right.\);

B. \(\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = {\log _5}2\end{array} \right.\);

C. \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - {\log _5}2\end{array} \right.\);

D. \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = {\log _5}2\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: A

Ta có:

\({5^x}{.8^{\frac{{x - 1}}{x}}} = 500 = {2^2}{.5^3}\)

\( \Leftrightarrow {5^x}{.2^{\frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{x}}} = {2^2}{.5^3}\)

\( \Leftrightarrow {2^{\frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{x} - 2}} = {5^{x - 3}}\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}{2^{\frac{{x - 3}}{x}}} = {\log _2}{5^{3 - x}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{x} = \left( {3 - x} \right){\log _2}5\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {\frac{1}{x} + {{\log }_2}5} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\\frac{1}{x} + {\log _2}5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \frac{{ - 1}}{{{{\log }_2}5}} = - {\log _5}2\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3 hoặc x = −log₅2.