Sử dụng tính chất tổng các góc của một tam giác bằng 180° để chứng minh

Bài 3.22 trang 39 SBT Toán 8 Tập 11. Sử dụng tính chất tổng các góc của một tam giác bằng 180° để chứng minh:

a) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

b) Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa BC thì vuông tại A.

2. Sử dụng tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau để chứng minh a), b) của ý 1.

Trả lời

1)

Sử dụng tính chất tổng các góc của một tam giác bằng 180° để chứng minh

a) Cho tam giác ABC vuông tại A. Do B là góc nhọn, có điểm M thuộc BC sao cho BAM^=ABM^; tam giác ABM cân tại M nên MA = MB.

Do BAM^+MAC^=ABM^+ACM^=90° nên suy ra MAC^=ACM^, do đó tam giác ACM cân tại M tức là MA = MC.

Vậy MA=MB=MC=12BC.

b) Ngược lại, nếu có M thuộc BC sao cho MA=MB=MC=12BC thì tam giác MAB cân tại M, tam giác MAC cân tại M, suy ra MAB^=B^;MAC^=C^

Ta có: A^=MAC^+MAB^

Nên A^=B^+C^ mà A^+B^+C^=180° nên A^=90°.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

2. M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC; lấy điểm P sao cho M là trung điểm của AP thì ABPC là một hình bình hành.

Sử dụng tính chất tổng các góc của một tam giác bằng 180° để chứng minh

a) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì hình bình hành ABPC có BAC^=90°nên ABPC là hình chữ nhật.

Do đó hai đường chéo BC, AP bằng nhau, suy ra MA = MB = MC = MP.

b) Nếu có M thuộc BC sao cho MA=MB=MC=12BC thì suy ra BC = AP;

Khi đó hình bình hành ABPC có hai đường chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Xem thêm các bài giải Toán lớp 8 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 11: Hình thang cân

Bài 12: Hình bình hành

Bài 13: Hình chữ nhật

Bài 14: Hình thoi và hình vuông

Bài tập cuối chương 3

Bài 15: Định lí Thalès trong tam giác