Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở M và cắt DC ở I. Chứng minh $\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{A{I}^2}=\frac{1}{a^2}$  .

Vẽ Ax ⊥ AI sao cho Ax cắt CD tại J.

Tam giác AIJ vuông tại A có AD là đường cao:  $\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{A{J}^2}+\frac{1}{A{I}^2}$  (*)

Xét ∆ADJ và ∆ABM, có:

$\widehat{ADJ}=\widehat{ABM}=90°$;

AD = AB (ABCD là hình vuông);

$\widehat{JAD}=\widehat{MAB}$ (cùng phụ với $\widehat{DAM}$ ).

Do đó ∆ADJ = ∆ABM (g.c.g).

Suy ra AJ = AM (cặp cạnh tương ứng).

Từ (*), suy ra $\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{A{I}^2}=\frac{1}{a^2}$ .

Vậy ta có điều phải chứng minh.