Nghiệm âm lớn nhất của phương trình lượng giác  $\text{cos}2x=\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ là

 $\text{cos}2x=\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$

 $\iff \left[\begin{array}{l}2x=x+\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x=-x-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

+) Với  $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ đạt giá trị âm lớn nhất khi k = – 1 và bằng:  $\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{5\pi }{3}$.

+) Với  $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$ đạt giá trị âm lớn nhất khi k = 0 và bằng:  $-\frac{\pi }{9}+0.\frac{2\pi }{9}=-\frac{\pi }{9}$.

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là  $-\frac{\pi }{9}$.