Một xưởng sản xuất có hai máy đặc chủng A, B sản xuất hai loại sản phẩm X, Y. Để sản xuất một tấn sản phẩm X cần dùng máy A
539
12/06/2023
Bài 6 trang 39 Toán lớp 10 Tập 1: Một xưởng sản xuất có hai máy đặc chủng A, B sản xuất hai loại sản phẩm X, Y. Để sản xuất một tấn sản phẩm X cần dùng máy A trong 6 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Để sản xuất một tấn sản phẩm Y cần dùng máy A trong 2 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Cho biết mỗi máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày; máy B làm việc không quá 8 giờ một ngày. Một tấn sản phẩm X lãi 10 triệu đồng và một tấn sản phẩm Y lãi 8 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất mỗi ngày sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.
Trả lời
Gọi x và y lần lượt là số tấn loại sản phẩm X và Y của nhà máy.
Theo đề ta có:
+ Thời gian làm việc của máy A để sản xuất ra hai loại sản phẩm X, Y không vượt qua 12 giờ nên 6x + 2y ≤ 12 hay 3x + y ≤ 6
+ Thời gian làm việc của máy B để sản xuất ra hai loại sản phẩm X, Y không vượt qua 8 giờ nên 2x + 2y ≤ 8 hay x + y ≤ 4
Suy ra hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc là:
Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy:
+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : 3x + y ≤ 6
Vẽ đường thẳng 3x + y - 6 = 0 đi qua hai điểm (2; 0); (0; 6).
Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng 3x + y - 6 = 0 và 3.0 + 0 - 6 = - 6 < 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O
+ Xác định miền nghiệm của bất phương trình : x + y ≤ 4
Vẽ đường thẳng x + y – 4 = 0 đi qua hai điểm (4; 0); (0; 4).
Xét gốc toạ độ O(0; 0) ta thấy: O không thuộc đường thẳng x + y – 4 = 0 và 0 + 0 - 4 = - 4< 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O
+ Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành
+ Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía bên phải trục tung
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC với các đỉnh O(0; 0); A(0; 4); B(1; 3); C(2; 0).
Gọi F là số tiền lãi thu được (đơn vị: triệu đồng), ta được: F = 10x + 8y.
Giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:
Tại O(0; 0) ta có: F = 10.0 + 8.0 = 0;
Tại A(0; 4) ta có: F = 10.0 + 8.4 = 32;
Tại B(1; 3) ta có: F = 10.1 + 8.3 = 34;
Tại C(2; 0) ta có: F = 10.2 + 8.0 = 20;
F đạt giá trị lớn nhất bằng 34 tại B(1; 3).
Vậy mỗi ngày cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại X và 3 tấn sản phẩm loại Y để thu được số tiền lãi lớn nhất.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài tập cuối chương 2
Bài 1: Hàm số và đồ thị
Bài 2: Hàm số bậc hai
Bài tập cuối chương 3
