Một tam giác ABC có số đo góc đỉnh A là \(60^\circ .\) Biết số đo góc B là một nghiệm của phương trình \({\sin ^2}4x + 2\sin 4x.\cos 4x - {\cos ^2}4x = 0.\) Tìm số tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: sin²4x + 2sin 4x.cos 4x − cos²4x = 0  (1).

TH1: cos²4x = 0 ⇔ sin²4x = 1, phương trình (1) trở thành 1 = 0 (Vô nghiệm) ⇒ Loại.

TH2: cos²4x ≠ 0. Chia cả 2 vế của phương trình cho cos²4x, ta được:

tan²4x + 2tan 4x – 1 = 0 ⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\tan 4x = - 1 + \sqrt 2 }\\{\tan 4x = - 1 - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = \frac{\pi }{8} + k\pi }\\{4x = - \frac{{3\pi }}{8} + k\pi }\end{array}} \right.\)⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{32}} + \frac{{k\pi }}{4}}\\{x = \frac{{ - 3\pi }}{{32}} + \frac{{k\pi }}{4}}\end{array}} \right.\) (k ∈ ℤ)

Vì B là góc của tam giác nên 0 < B < π.

· Xét nghiệm \(x = \frac{\pi }{{32}} + \frac{{k\pi }}{4}\) (k ∈ ℤ) ta có:

\(0 < \frac{\pi }{{32}} + \frac{{k\pi }}{4} < \pi \) ⇔ \( - \frac{1}{8} < k < \frac{{31}}{8}\)

⇒ k ∈ {0; 1; 2; 3} (k ∈ ℤ)

· Xét nghiệm \(x = - \frac{{3\pi }}{{32}} + \frac{{k\pi }}{4}\) (k ∈ ℤ) ta có:

\(0 < - \frac{{3\pi }}{{32}} + \frac{{k\pi }}{4} < \pi \) ⇔ \(\frac{3}{8} < k < \frac{{35}}{8}\)

⇒ k ∈ {1; 2; 3; 4} (k ∈ ℤ)

Suy ra phương trình trên có 8 nghiệm thỏa mãn, tức là có 8 giá trị góc B thỏa mãn.

Ứng với mỗi giá trị của góc B cho ta 1 tam giác. Vậy có 8 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.