Một sợi dây nhẹ không dãn dài 1,6 m được cắt thành hai sợi dây có chiều dài ℓ1 và ℓ2 để làm thành hai con lắc đơn có chiều dài tương ứng.

Một sợi dây nhẹ không dãn dài 1,6 m được cắt thành hai sợi dây có chiều dài ℓ1 và ℓ2 để làm thành hai con lắc đơn có chiều dài tương ứng. Cho hai con lắc đơn này dao động điều hòa ở cùng một nơi có gia tốc trọng trường g = 9,787m/s2 và trong cùng một mặt phẳng thẳng đứng. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của các li độ góc α của mỗi con lắc vào thời gian t. Không kể thời điểm t = 0, thời điểm thứ hai các dây treo của hai con lắc song song với nhau gần nhất với giá trị nào sau đây?

Trả lời

Đặt mỗi ô hàng ngang là 1 đơn vị thời gian

Từ đồ thị ta thấy pha ban đầu của hai con lắc là:   $-\frac{\pi }{2}\left(rad\right)$

Con lắc (1) có: $\left\{\begin{array}{l}{\alpha }_{01}=0,16\left(rad\right)\\ T_1=24\end{array}\right.$  

Ở thời điểm hai con lắc có cùng li độ:  $t=9=\frac{3T_1}{8}\Rightarrow {\phi }_1=t.\frac{2\pi }{T_1}=\frac{3\pi }{4}$

 $\Rightarrow {\alpha }_1={\alpha }_{01}\cos \left(\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{0,16\sqrt{2}}{2}\left(rad\right)$

Xét con lắc (2) ở thời điểm có li độ góc 0,08rad và $\frac{0,16\sqrt{2}}{2}rad,$   ta có vòng tròn lượng giác:

$\Rightarrow {\alpha }_1={\alpha }_{01}\cos \left(\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{0,16\sqrt{2}}{2}\left(rad\right)$

Từ vòng tròn lượng giác ta thấy:

 $\frac{\cos \left(\frac{\pi }{2}-3{\phi }_0\right)}{\cos \left(\frac{\pi }{2}-2{\phi }_0\right)}=\frac{0,08\sqrt{2}}{0,08}=\sqrt{2}\Rightarrow {\phi }_0=\frac{\pi }{12}\left(rad\right)$

 $\Rightarrow {\alpha }_{02}\cos \left(\frac{\pi }{2}-2{\phi }_0\right)=0,08\Rightarrow {\alpha }_{02}=0,16\left(rad\right)={\alpha }_{01}$

Nhận thấy góc quét $\frac{\pi }{12}$ tương ứng với 3 ô đơn vị:

 $\frac{\pi }{12}=3.\frac{2\pi }{T_2}\Rightarrow T_2=72=3T_1\Rightarrow {\omega }_1=3{\omega }_2$

Chu kì của hai con lắc là:  

 ${\mathcal{l}}_1+{\mathcal{l}}_2=1,6\Rightarrow {\mathcal{l}}_2=1,44\left(m\right)$

$\Rightarrow {\omega }_2=\sqrt{\frac{g}{l_2}}\approx 2,6rad/s$

Dây treo của hai con lắc song song với nhau, ta có:

 ${\alpha }_1={\alpha }_2\Rightarrow {\alpha }_{01}\cos \left({\omega }_{1}t-\frac{\pi }{2}\right)={\alpha }_{02}\cos \left({\omega }_{2}t-\frac{\pi }{2}\right)$

 $\Rightarrow \cos \left({\omega }_{1}t-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left({\omega }_{2}t-\frac{\pi }{2}\right)\Rightarrow 3{\omega }_{2}t-\frac{\pi }{2}=\pm \left({\omega }_{2}t-\frac{\pi }{2}\right)+k2\pi$

Thời điểm thứ 2 dây treo của hai con lắc song song với nhau là: t=0,9s.