Một lò xo nhẹ có chiều dài tự nhiên là 40 cm được treo thẳng đứng với đầu trên cố định, đầu dưới gắn vào vật nhỏ có khối lượng m₁ = 250 g. Nối vào phía dưới m₁ một vật nhỏ có khối lượng m₂ = 150 g bằng sợi dây nhẹ, không dãn. Khi hệ vật nằm cân bằng thì lò xo có chiều dài 44 cm. Lấy g = 10 m/s²; π² = 10. Nâng hệ vật dọc theo trục của lò xo đến khi lò xo có chiều dài 36 cm rồi thả nhẹ. Biết m₂ rời khỏi m₁ khi lực căng dây có độ lớn là 3 N. Sau khi hai vật rời khỏi nhau, khoảng cách giữa m₁ và m₂ tại thời điểm m₁ tới vị trí lò xo dãn cực đại lần đầu tiên có giá trị gần đúng là

\(\Delta {l_0} = 44 - 40 = 4cm = 0,04m \to k = \frac{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right)g}}{{\Delta {l_0}}} = \frac{{\left( {0,25 + 0,15} \right).10}}{{0,44 - 0,4}} = 100N/m\)

Xét trường hợp khoảng cách giữa hai vật nhỏ nhất ứng với chiều dài dây bằng 0

GĐ1: Hai vật cùng dao động điều hòa

\(\omega = \sqrt {\frac{k}{{{m_1} + {m_2}}}} = \sqrt {\frac{{100}}{{0,25 + 0,15}}} = 5\sqrt {10} \) (rad/s)

\({m_2}g - T = - {m_2}{\omega ^2}x \Rightarrow 0,15.10 - 3 = - 0,15.{\left( {5\sqrt {10} } \right)^2}x \Rightarrow x = 0,04m = 4cm\)

\(v = \omega \sqrt {{A^2} - {x^2}} = 5\sqrt {10} .\sqrt {{8^2} - {4^2}} = 20\sqrt {30} \) (cm/s)

GĐ2: m₁ dao động điều hòa, còn m₂ chuyển động nhanh dần đều xuống dưới

\(O{O_1} = \frac{{{m_2}g}}{k} = \frac{{0,15.10}}{{100}} = 0,015m = 1,5cm \to {x_1} = 4 + 1,5 = 5,5cm\)

\({\omega _1} = \sqrt {\frac{k}{{{m_1}}}} = \sqrt {\frac{{100}}{{0,25}}} = 20\) (rad/s)

\({A_1} = \sqrt {x_1^2 + {{\left( {\frac{v}{{{\omega _1}}}} \right)}^2}} = \sqrt {5,{5^2} + {{\left( {\frac{{20\sqrt {30} }}{{20}}} \right)}^2}} = 0,5\sqrt {241} \) (cm)

\(t = \frac{{\arccos \frac{{{x_1}}}{{{A_1}}}}}{{{\omega _1}}} = \frac{{\arccos \frac{{5,5}}{{0,5\sqrt {241} }}}}{{20}} \approx 0,039s\)

\(d = {x_1} - {A_1} + vt + \frac{1}{2}g{t^2} = 5,5 - 0,5\sqrt {241} + 20\sqrt {30} .0,039 + \frac{1}{2}.1000.0,{039^2} \approx 2,8cm\)

Khoảng cách 2 vật tại thời điểm lò xo dãn cực đại luôn lớn hơn 2,8 cm. Chọn A