Một dãy số (u_n) được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi

u₁ = a, u_{n + 1} = qu_n + d.

Nếu q = 1 ta có cấp số cộng với công sai d, còn nếu d = 0 ta có cấp số nhân với công bội q.

a) Giả sử q ≠ 1. Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n.

a) Ta viết lần lượt các số hạng của dãy:

u₁ = a;

u₂ = qu₁ + d;

u₃ = qu₂ + d = q(qu₁ + d) + d = q²u₁ + qd + d = q²u₁+ d(q + 1);

u₄ = qu₃ + d = q(q²u₁ + qd + d) + d = q³u₁ + q²d + qd + d

= q³u₁ + d(q² + q + 1) = q³u₁ + d $\frac{1-q^3}{1-q}$     (với q ≠ 1).

Làm tương tự ta được công thức số hạng tổng quát u_n:

u_n = q^{n – 1}u₁ + d(q^{n – 2} + q^{n – 3} + ... + 1) = q^{n – 1}u₁ + d$\frac{1-q^{n-1}}{1-q}$.