Dãy các số chính phương sau đây không phải là cấp số cộng

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

Tuy nhiên, chúng ta có thể lập một cấp số cộng liên quan bằng cách tìm hiệu của các số hạng liên tiếp của dãy số này.

a) Viết tám số hạng đầu của cấp số cộng liên quan được mô tả ở trên. Tìm công thức của số hạng thứ n của cấp số cộng này.

a) Công thức số hạng thứ n của dãy các số chính phương đã cho là n² ∀ n ≥ 1.

Tám số hạng đầu của cấp số cộng (u_n) được mô tả là

u₁ = 4 – 1 = 3; u₂ = 9 – 4 = 5; u₃ = 16 – 9 = 7; u₄ = 25 – 16 = 9;

u₅ = 36 – 25 = 11; u₆ = 49 – 36 = 13; u₇ = 64 – 49 = 15; u₈ = 81 – 64 = 17.

Theo giả thiết chúng ta xét hiệu của hai số hạng liên tiếp, do đó số hạng thứ n của cấp số cộng này là hiệu của số hạng thứ n + 1 và số hạng thứ n của dãy các số chính phương nên

u_n = (n + 1)² – n² = 2n + 1 ∀ n ≥ 1.

Ta chứng minh được dãy số (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 2.