Chứng minh rằng nếu ba số theo thứ tự vừa lập thành một cấp số cộng vừa lập thành một cấp số nhân thì ba số ấy bằng nhau.

Gọi x, y lần lượt là số thứ nhất và số thứ ba trong ba số đó.

Vì ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên số thứ hai là $\frac{x+y}{2}$.

Khi đó, ba số cần tìm có dạng: x, $\frac{x+y}{2}$, y.

Vì ba số này lập thành một cấp số nhân nên ta có

$xy={\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2$⇔ 4xy = x² + 2xy + y² ⇔ x² – 2xy + y² = 0 ⇔ (x − y)² = 0, tức là x = y.

Suy ra $\frac{x+y}{2}=\frac{x+x}{2}=\frac{2x}{2}=x$.

Vậy ba số đó bằng nhau.