b) Thiết lập công thức tính tổng S_n của n số hạng đầu của cấp số nhân cộng (u_n).

b) Ta viết tổng n số hạng đầu như sau

S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n

= u­₁ + (qu₁ + d) + (qu₂ + d) + ... + (qu_{n – 1} + d)

= u₁ + q(u₁ + u₂ + ... + u_{n – 1}) + (n – 1)d

= u₁ + qS_{n – 1} + (n – 1)d

= qS_{n – 1} + a + (n – 1)d               (vì u₁ = a).

Như vậy, ta được (S_n) cũng là một cấp số nhân cộng với S₁ = u₁ = a.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát vừa tìm được ở câu a để tính S_n ta có

$S_n=q^{n-1}{S}_1+\left[a+\left(n-1\right)d\right]\frac{1-q^{n-1}}{1-q}=q^{n-1}a+\left[a+\left(n-1\right)d\right]\frac{1-q^{n-1}}{1-q}$.

Vậy $S_n=q^{n-1}a+\left[a+\left(n-1\right)d\right]\frac{1-q^{n-1}}{1-q}$.