Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài 20 cm, chiều rộng 10 cm, chiều cao 8 cm (Hình 50a)

Bài 61 trang 119 SBT Toán 11 Tập 2: Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài 20 cm, chiều rộng 10 cm, chiều cao 8 cm (Hình 50a). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo dài n (cm), miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài 2n (cm) (Hình 50b). Sau khi đổ, mực nước ở khay thứ hai cao bằng $\frac{2}{3}$ chiều cao của khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $\frac{1}{4}$ so với ban đầu. Tính thể tích của chiếc khay thứ hai theo đơn vị centimét khối.

Trả lời

Vì khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài 20 cm, chiều rộng 10 cm, chiều cao 8 cm, nên ta có thể tích nước trong khay thứ nhất trước khi đổ ra là: 20.10.8 = 1 600 (cm³).

Sau khi đổ nước sang khay thứ hai, ta thấy rằng lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $\frac{1}{4}$ so với ban đầu, cho nên lượng nước có ở trong khay thứ 2 bằng $\frac{1}{4}$ lượng nước ban đầu có ở trong khay thứ nhất.

Như vậy, thể tích nước có trong khay thứ hai là $1600.\frac{1}{4}=400\left(c{m}^3\right).$

Gọi chiều cao của khay thứ hai là h (cm).

Giả sử khay thứ hai có hình dạng chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ như hình vẽ sau:

Dễ dàng chứng minh được ACC’A’ là hình thang cân. Lấy MN song song với AC; H, K lần lượt là hình chiếu của A’, C’ trên AC; P, Q lần lượt là giao điểm của A’H và MN, C’K và MN như hình vẽ sau:

Theo giả thiết mực nước (ngang với MN) trong khay thứ hai cao bằng $\frac{2}{3}$ chiều cao của khay đó, nên ta có thể coi C’Q chính là chiều cao nước trong khay.

Dễ thấy: A’H = C’K = h.

Suy ra: $C^{\text{'}}Q=\frac{2}{3}h$ , có nghĩa là chiều cao nước trong khay thứ hai là $\frac{2}{3}h.$

Vì H, K lần lượt là hình chiếu của A’, C’ trên AC nên A’H ⊥ AC, C’K ⊥ AC.

Suy ra A’H // C’K và $\widehat{A^{\text{'}}HK}=90°$ mà HK // A’C’ nên HKC’A’ là hình chữ nhật

Từ đó ta có A’C’ = HK = n.

Dễ dàng chứng minh được ∆AHA’ = ∆CKC’ nên AH = CK.

$\Rightarrow AH=CK=\frac{AC-HK}{2}=\frac{2n-n}{2}=\frac{n}{2}.$

Tam giác A’AH có MP // AH, nên theo hệ quả định lí Thales ta có: $\frac{MP}{AH}=\frac{A^{\text{'}}P}{A^{\text{'}}H}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow MP=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}.\frac{n}{2}=\frac{n}{3}.$

Tương tự tam giác C’CK có QN // CK nên ta cũng có $QN=\frac{n}{3}.$

Do đó: $MN=MP+PQ+QN=\frac{n}{3}+n+\frac{n}{3}=\frac{5n}{3}.$

Theo giả thiết ta có thể tích nước trong khay thứ hai bằng thể tích khối chóp cụt tứ giác đều với đáy lớn (hình vuông) nhận MN là đường chéo có diện tích ${S^{\text{'}}}_1$ và đáy nhỏ (hình vuông) nhận A’C’ làm đường chéo có diện tích ${S^{\text{'}}}_2,$ chiều cao bằng $h^{\text{'}}=\frac{2}{3}h.$

·${S^{\text{'}}}_1=\frac{M{N}^2}{2}=\frac{{\left(\frac{5n}{3}\right)}^2}{2}=\frac{25n^2}{18}.$

·${S^{\text{'}}}_2=\frac{A^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^2}{2}=\frac{n^2}{2}.$

$\Rightarrow V^{\text{'}}=\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{2}{3}h\right)\cdot \left(\frac{25n^2}{18}+\sqrt{\frac{25n^2}{18}.\frac{n^2}{2}}+\frac{n^2}{2}\right)=\frac{49}{81}{n}^{2}h$

Mà thể tích nước trong khay thứ hai là 400 cm³, nên ta có:

$V=\frac{49}{81}{n}^{2}h=400\Rightarrow n^{2}h=\frac{32400}{49}.$

Mặt khác, thể tích khay thứ hai bằng thể tích khối chóp cụt tứ giác đều với đáy lớn (hình vuông) nhận AC là đường chéo có diện tích S₁ và đáy nhỏ (hình vuông) nhận A’C’ làm đường chéo có diện tích S₂, chiều cao bằng h.

·$S_1=\frac{A{C}^2}{2}=\frac{{\left(2n\right)}^2}{2}=2n^2.$

·$S_2=\frac{A^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^2}{2}=\frac{n^2}{2}.$

$\Rightarrow V=\frac{1}{3}h.\left(2n^2+\sqrt{2n^2.\frac{n^2}{2}}+\frac{n^2}{2}\right)=\frac{7}{6}{n}^{2}h$

Mà $n^{2}h=\frac{32400}{49}\Rightarrow V=\frac{7}{6}.\frac{32400}{49}=\frac{5400}{7}\left(c{m}^3\right).$

Vậy thể tích của chiếc khay thứ hai bằng $\frac{5400}{7}\left(c{m}^3\right).$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 5: Khoảng cách

Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Bài tập cuối chương 8