b) Lớp 11A có 10 học sinh nữ và một số học sinh nam. Cần chọn 5 học sinh tham gia đội văn nghệ của trường. Biết xác suất cả 5 học sinh được chọn toàn nam bằng \[\frac{7}{{15}}\] xác suất để trong 5 học sinh được chọn 2 nữ. Hỏi lớp 11A có bao nhiêu học sinh?

Phương pháp:

Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).

Cách giải:

Gọi số học sinh nam của trường là n (học sinh, \(n \in \mathbb{N}\))

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{n + 10}^5\)

Xác suất để cả 5 học sinh được chọn toàn nam: \(\frac{{C_n^5}}{{C_{n + 10}^5}}\).

Xác suất trong 5 học sinh được chọn có 2 nữ: \(\frac{{C_{10}^2C_n^3}}{{C_{n + 10}^5}}\).

Theo đề bài, ta có:

\(\frac{{C_n^5}}{{C_{n + 10}^5}} = \frac{7}{{15}}.\frac{{C_{10}^2C_n^3}}{{C_{n + 10}^5}} \Leftrightarrow 15C_n^5 = 7C_{10}^2C_n^3 \Leftrightarrow 15C_n^5 = 7.45C_n^3 \Leftrightarrow C_n^5 = 21C_n^3 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{5!\left( {n - 5} \right)!}} = \frac{{21.n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{5!\left( {n - 5} \right)!}} = \frac{{21.n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} \Leftrightarrow 5.4 = \frac{{\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)}}{{21}} \Leftrightarrow {n^2} - 7n + 12 - 420 = 0 \Leftrightarrow {n^2} - 7n - 408 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 24\,\left( {TM} \right)\\n = - 17\,\left( L \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \) Số học sinh nam của lớp 11A là: 24 học sinh.

\( \Rightarrow \)Lớp 11A có tất cả số học sinh là: \(10 + 24 = 34\) (học sinh)