Kẻ đường kính CP của $\left(O;R\right)$

Ta có: $\angle POA$  là góc ngoài của tam giác OAC nên $\angle POA=\angle OCA+\angle OAC$  mà $\angle OAC=\angle OCA$  (do tam giác OAC cân tại O) nên $\angle POA=2\angle ACO.$

Lại có $\angle POM$  là góc ngoài của tam giác OCM nên $\angle POM=\angle OCM+\angle OMC$  mà $\angle OCM=\angle OMC$  (do tam giác OCM cân tại O) nên $\angle POM=2\angle MCO.$

Do đó:$\angle POM-\angle POA=2\left(\angle MCO-\angle ACO\right)$  hay $\angle MOA=2\angle MCA.$

Xét tứ giác EMOA có $\angle EAO=\angle EMO=90°$  (tính chất tiếp tuyến)

Nên $\angle MOA+\angle AEM=360°-\left(\angle EAO+\angle EMO\right)=180°$

Mà $\angle AEM+\angle BEF=180°$  (hai góc kề bù)

Nên $\angle MOA=\angle BEF$  (cùng bù với $\angle AEM$ )

Lại có  $\angle BEF=2\angle IEF$(do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BEF)

Và $\angle MOA=2\angle MCA\left(cmt\right)$

Suy ra $\angle IEF=\angle MCA$

Chứng minh tương tự:

Ta có $\angle DOM$  là góc ngoài của tam giác cân $AOM\Rightarrow \angle DOM=2\angle MAO$

$\angle DOC$ là góc ngoài của tam giác cân $AOC\Rightarrow \angle DOC=2\angle CAO$

Trừ vế với vế ta được:$\angle MOC=2\angle MAC$

Lại có $\angle MFC+\angle MOC=360°-\left(\angle FMO-\angle CFO\right)=180°$

Và $\angle MFC+\angle BFE=180°\Rightarrow \angle BFE=\angle COM$

Mà $\angle COM=2\angle MAC;\angle BFE=2\angle IFE$  nên $\angle IFE=\angle MAC$

Xét tam giác IEF và tam giác MCA có: $\angle IFE=\angle MAC$  và $\angle IEF=\angle MCA\left(cmt\right)$  nên $\Delta IEF$  đồng dạng với $\Delta MCA$  (đpcm).