Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó: a) Với mọi x thuộc R , x^2 ≠ 2x – 2

Bài 7 trang 11 Toán lớp 10 Tập 1: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:

a) $\forall x\in ℝ$, x² ≠ 2x – 2;

b) $\forall x\in ℝ$, x² ≤ 2x – 1;

c) $\exists x\in ℝ,x+\frac{1}{x}\ge 2$;

d) $\exists x\in ℝ$, x² – x + 1 < 0.

Trả lời

a) Phủ định của mệnh đề “$\forall x\in ℝ$, x² ≠ 2x – 2” là mệnh đề “$\exists x\in ℝ$, x² = 2x – 2”.

Ta xét phương trình x² = 2x – 2

⇔ x² – 2x + 2 = 0

Ta có: ∆' = (– 1)² – 1 . 2 = – 1 < 0

Do đó phương trình vô nghiệm trên tập số thực.

Nghĩa là không tồn tại số thực x thỏa mãn x² = 2x – 2 hay x² ≠ 2x – 2 với mọi số thực x.

Vậy mệnh đề phủ định trên là mệnh đề sai. 

b) Phủ định của mệnh đề “$\forall x\in ℝ$, x² ≤ 2x – 1” là mệnh đề “$\exists x\in ℝ$, x² > 2x – 1”.

Với x = 3, ta có 3² = 9 và 2 . 3 – 1 = 6 – 1 = 5, vì 9 > 5 nên 3² > 2 . 3 – 1.

Suy ta tồn tại số thực x thỏa mãn x² > 2x – 1.

Vậy mệnh đề phủ định là mệnh đề đúng.

c) Phủ định của mệnh đề “$\exists x\in ℝ,x+\frac{1}{x}\ge 2$” là mệnh đề “$\forall x\in ℝ,x+\frac{1}{x}<2$”.

Ta thấy với x = 10, ta thấy $10+\frac{1}{10}=10,1$ > 2.

Vậy mệnh đề phủ định là mệnh đề sai.

d) Phủ định của mệnh đề “$\exists x\in ℝ$, x² – x + 1 < 0” là mệnh đề “$\forall x\in ℝ$, x² – x + 1 ≥ 0”.

Ta có: x² – x + 1

= $x^2-2.x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$

$={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0\forall x\in ℝ$

⇒ x² – x + 1 ≥ 0 $\forall x\in ℝ$

Mệnh đề phủ định này là mệnh đề đúng.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Mệnh đề toán học

Bài 2: Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương 2